Mapear a terceira dimensão envolve estender o nosso panorama matemático do plano plano $\mathbb{R}^2$ para $\mathbb{R}^3$, estabelecendo três linhas direcionadas mutuamente perpendiculares (os eixos x, y e z) que se encontram na origem $O$.
Assim como usamos a série de Maclaurin para a função exponencial, $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, para construir funções complexas a partir de termos polinomiais simples, construímos o espaço tridimensional particionando-o em oito octantes usando três planos coordenados que se intersectam planos coordenados (xy, yz e xz). Essa transição permite localizar qualquer ponto P como um triplo ordenado (a, b, c), representando suas distâncias dirigidas a partir desses planos — passando da "complexidade infinita" de uma curva de floco de neve em 2D curva de floco de neve para o volume estruturado do mundo físico.
A Geometria de $\mathbb{R}^3$
Para identificar pontos no espaço, fixamos três linhas direcionadas que passam por $O$ e são perpendiculares entre si, chamadas de eixo x, eixo y, e eixo z. Sua orientação segue a Regra da Mão Direita: se você dobrar os dedos da sua mão direita do eixo x positivo em direção ao eixo y positivo, o seu polegar aponta para o eixo z positivo (Figura 2).
Os três eixos coordenados determinam os três planos coordenados: o plano xy ($z=0$), o plano yz ($x=0$), e o plano xz ($y=0$). Esses planos dividem o espaço em oito partes chamadas octantes. O primeiro octante é onde todas as coordenadas são positivas.
Para qualquer ponto $P$, o triplo $(a, b, c)$ contém a coordenada x ($a$), coordenada y ($b$), e coordenada z ($c$). São as distâncias dirigidas dos planos yz, xz e xy, respectivamente.
Analogia de Mapeamento Matemático
Localizar um ponto $P(a, b, c)$ somando componentes é conceitualmente semelhante a somar os termos de uma série. Considere encontrar a soma da série $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$. Isso exige reconhecer o padrão conhecido da série de Maclaurin de $e^x$.
A série $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ está relacionada a $e^{x+2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n!}$. Para resolvê-la, manipulamos o índice para corresponder à forma familiar:
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!} = (x+2)^{-3} \left[ e^{x+2} - 1 - (x+2) - \frac{(x+2)^2}{2!} \right]$$
Assim como identificamos ingredientes em uma série de potências, identificamos eixos e planos para determinar a posição espacial.
O Perigo da Dimensão
Observação: Quando uma equação é dada, devemos entender, pelo contexto, se ela representa uma curva em $\mathbb{R}^2$ ou uma superfície em $\mathbb{R}^3$.
- Equação $y=5$: Em $\mathbb{R}^1$, é um ponto. Em $\mathbb{R}^2$, é uma linha horizontal. Em $\mathbb{R}^3$, é um todo plano paralelo ao plano coordenado xz (Figura 7).
- Equação $y=x$: Em $\mathbb{R}^3$, como $z$ é "livre", esta equação representa um plano vertical que passa pelo eixo z, cortando o plano xy ao longo da reta $y=x$.